Weer leuke intresante weetjes! Deze keer over de wiskundige Fermat, die zijn stelling wilde bewijzen;
Over het algemeen wordt aangenomen dat Fermat zijn stelling heeft aangetoond voor n=4. Weliswaar heeft men dat bewijs niet op schrift, maar hij gaf wel een bewijs voor de volgende stelling:
- De oppervlakte van een rechthoekige driehoek kan geen kwadraat zijn (voor rationele getallen).
De bewijsvoering voor deze stelling kan hem ook in staat gesteld hebben zijn beroemde stelling voor n=4 te bewijzen.[1] Hij beschreef dit bewijs als volgt:
- Als het oppervlak van een rechthoekige driehoek een kwadraat zou zijn, zouden er twee vierde machten bestaan, waarvan het verschil een kwadraat is.
- Daaruit volgt dat er twee kwadraten zouden bestaan waarvan de som en het verschil beiden kwadraten zouden zijn.
- Dan zou er een kwadraat bestaan dat de som zou zijn van een kwadraat en het dubbele van een ander kwadraat, omdat de kwadraten, waarvan deze som wordt berekend, zelf een som zouden hebben dat een kwadraat is.
- Maar als een kwadraat de som is van een kwadraat en het dubbele van een ander kwadraat, dan is zijn zijde, zoals ik eenvoudig kan bewijzen, op de zelfde manier ook de som van een kwadraat en het dubbele van een ander kwadraat.
- Hieruit concluderen we dat de genoemde zijde de som is van de zijdes aan de rechte hoek in een rechthoekige driehoek, en dat het enkele kwadraat in de som de basis is en het dubbele van het andere kwadraat de loodrechte zijde is.
- Deze rechthoekige driehoek wordt aldus gevormd door twee kwadraten, waarvan de som en het verschil ook kwadraten zijn.
- Maar het kan worden aangetoond dat allebei de kwadraten kleiner zullen zijn dan de oorspronkelijke kwadraten, waarvan aangenomen werd dat zowel hun som als hun verschil kwadraten zijn.
- Dus als er twee kwadraten bestaan, zodanig dat hun som en verschil ook kwadraten zijn, dan bestaan er tevens twee andere kwadraten die de zelfde eigenschap hebben maar met een kleinere som.
- Door deze redenering vinden we een som die telkens kleiner is dan de vorige, en we kunnen zo tot in het oneindige doorgaan met het vinden van steeds kleinere kwadraten met deze eigenschap.
- Dit is echter onmogelijk omdat er geen oneindige reeks van natuurlijke getallen kan zijn, kleiner dan een gegeven natuurlijk getal.